DumpStats voor Graaf_Tel 👶

1 kudos 2012-07-13 23:38:58 op Een fiets van karton voor 90 dollar
Tof! Zou de ketting ook van karton zijn?

2 kudos 2012-07-08 00:27:03 op Numberphile over oneindigheid
Hoi Anti links/rechts,

Om nog even terug te komen op je vraag, ook al kom je tot dezelfde conclusie als Cantor, ik ben bang dat je redenatie niet genoeg is voor een bewijs. (Een vraag als 10^∞ ≠ ∞ is sowieso wiskundig niet zo netjes, behalve als je goed uitlegt wat je daarmee bedoelt maar goed..)

In het filmpje gaat het steeds over aftelbaar oneindig, oftewel kan je je verzameling V op een volgorde leggen. In de wiskunde heb je het dan over een bijectie tussen V en de natuurlijke getallen. Dat wil zeggen dat je voor elk natuurlijk getal (1 of 2 of 3 of 4,etc) een uniek getal uit je andere verzameling V hebt wat daarmee correspondeert.

De gehele getallen zijn bijvoorbeeld aftelbaar als (0,1,-1,2,-2,3...) maar dat is eigenlijk hetzelfde als de bijectie (correspondentie)
1 <-> 0
2 <-> 1
3 <-> -1
4 <-> 2
etc
Dan vertelt het natuurlijke getal je steeds op welke plek het corresponderende getal in de aftelling staat.

Aftelbaar is dus hetzelfde als een bijectie met de natuurlijke getallen. Het filmpje gaat dan dus eigenlijk over de vraag `is er een bijectie tussen alle getallen, genaamd R, en de natuurlijke getallen, genaamd N'.


Laten we nu naar een voorbeeld kijken om je vraag te beantwoorden.
Aan de ene kant de verzameling A met alle natuurlijke getallen {1,2,3,4,5,6,7,...} en al die getallen nog eens, maar met een accentje {1',2',3',4',5',...}. Aan de andere kant de verzameling N: gewoon de natuurlijke getallen {1,2,3,4,5,...}

Dan zou je kunnen redeneren
we hebben links 1,1' tegen alleen één 1 rechts
en zo ook 2,2' links tegen enkel één 2 rechts
Zou je dan ook zeggen dat de verzameling A geen bijectie heeft met N (of niet aftelbaar is), omdat 2*&#8734; &#8800; &#8734;?

Want natuurlijk is die bijectie hier wel, omdat je het makkelijk op volgorde legt volgens (1,1',2,2',3,3') dus de bijectie
1 <-> 1
2 <-> 1'
3 <-> 2
4 <-> 2'
enzovoort.


Vragen van de vorm 10^&#8734; &#8800; &#8734; zijn erg ingewikkeld. En hoewel je dus in het bovenstaande geval zag dat we steeds twee keer zoveel elementen links hadden als rechts in de eindige gevallen voor 1,1',2,2', t/m m, m' links tegen 1,...,m rechts bijvoorbeeld zie je 2m &#8800; m. Toch krijg je in het oneindige geval wel 2*&#8734; = &#8734; (want er is wel een bijectie). Je kan dus niet ongelijkheden in eindige voorbeelden gebruiken om ongelijkheden in het oneindige geval te bewijzen!

Aan de andere kant heb je wel gelijk dat 10^&#8734; inderdaad niet even groot is als &#8734;. Dat is natuurlijk wel vreemd, want 2*&#8734; is dat dan weer wel. Maar goed &#8734; is geen getal en je kan dus ook niet zomaar vermenigvuldigen of machtverheffen. Jouw 'bewijs' klopte dus niet, omdat die eindige voorbeelden helaas niet toereikend zijn om iets te zeggen over het oneindige geval, maar je conclusie is dat dan grappig genoeg weer wel; het ligt allemaal erg subtiel.
Helaas is 10^&#8734; (maar dan begrepen op een formele wiskundige manier) erg ingewikkelde stof, sterker nog 10^&#8734; is nog niet eens erg goed begrepen: niemand heeft enig idee hoe groot 10^&#8734; is, bijvoorbeeld. Behalve dat het in ieder geval een heel stuk groter is dan het aftelbare &#8734; van de natuurlijke getallen.

Ik hoop dat dit helpt en ik kan je verder absoluut aanraden het bewijs van Cantor door te nemen, want dat is wel volledig correct en zit erg leuk in elkaar.